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John Nash e la teoria dei giochi

John Nash: in equilibrio tra genio e follia

THE BEAUTIFUL MIND, JOHN NASH

John Nash è diventato celebre per l’invenzione della Teoria dell’equilibrio, su cui si basano oggi la gran parte delle teorie economiche e degli studi sociali. Brillante matematico e premio Nobel è morto il 23 Maggio 2015 nel New Jersey a causa di un incidente stradale. J.F. Nash nasce nel West Virginia il 13 Giugno 1928. Nel 1948 viene ammesso alla Princeton University, dove consegue il Dottorato in Matematica con una tesi dal titolo Equilibrium Points in N-person Games. Proprio questa tesi gli varrà il Premio Nobel nel 1994.

LA STORIA DI UN GENIO

La vita di Nash, stupendamente raccontata da Russell Crowe sotto la regia di Ron Howard nel film A Beautiful Mind, si è conclusa il 23 maggio 2015, all’età di 86 anni, accanto a quella moglie che non lo ha mai lasciato solo. L’incontro con Alice de Lardè (Ricercatrice al MIT con un Ph.D in fisica) diede vita infatti ad una relazione che, tra alti e bassi, accompagnò John Nash per tutta la vita, soprattutto durante la malattia.

Fu proprio la malattia che mise John Nash in cattiva luce negli ambiti accademici, poichè si manifestò anche nel 1959 durante una conferenza all’American Mathematical Society, presso la Columbia University, dove tutta la platea notò gli evidenti segni della sua paranoia: John Nash credeva infatti di essere parte di un complotto contro il comunismo e che vi fossero diversi infiltrati sovietici nella sua vita lavorativa.

John Nash

Nel 1961 fu ricoverato in un ospedale del New Jersey. Grazie all’intervento dell’ormai ex moglie, John poté riprendere però a lavorare. Dico ex moglie poiché Nash e la De Lardè si separarono prima di risposarsi non molti anni fa e da quel momento in poi sono sempre rimasti molto legati. Da quando fu dimesso da quell’ospedale del New Jersey a John Nash furono finalmente riconosciuti i successi della sua teoria con una serie di premi, fino al tanto ambito Premio Nobel.

PERCHÈ SERVE UNA TEORIA DELL’EQUILIBRIO?

Perché la teoria dei giochi è così importante? A che cosa serve? Ma soprattutto che cos’è?

Se state pensando al poker o ad un modo per vincere al casinò di Montecarlo siete decisamente fuoristrada, anche se non siete così lontani dal principio da cui partì John Nash. Nash inizialmente si chiese se nei giochi non cooperativi (quindi non parliamo di basket o di calcio) vi fosse una combinazione di mosse per la quale nessuno dei giocatori perdesse, o che non perdesse pesantemente. L’importanza della dimostrazione matematica dell’esistenza di questa serie di mosse è presto detta: è come una partita a tris con due giocatori esperti, nessuno dei due potrà battere l’altro. La base di questo tipo di ragionamento trova naturale applicazione nell’economia, dove l’arte di non farsi fare pelo e contropelo dal gatto e la volpe la fa da padrona. Ma il non essere imbrogliato non era l’obiettivo con cui Nash formulò la sua teoria:

Equilibria Strategies are an attempt to predict human behaviours (Nash,1950).

Le strategie dell’equilibrio (meglio note come teoria dei giochi, ndr) elaborate da John Nash sono un tentativo di comprendere il comportamento umano. Il suo obiettivo era capire come si sarebbe comportato l’uomo in diverse situazioni e proprio questo obiettivo spinse Nash nella sua ricerca a Princeton. In seguito alla pubblicazione, il successo di questa teoria matematica fu appetibile a molte menti scientifiche del momento.

La teoria dei giochi è diventata così importante che ogni azienda prima di immettere un nuovo prodotto sul mercato, o di cambiare il prezzo di un bene, utilizza la teoria dei giochi per decidere come agire. Ad oggi la teoria dei giochi viene utilizzata persino per predirre scenari di guerra, catastrofi o emergenze umanitarie nella sua versione probabilistica, la quale permette di creare reti neurali e schemi per studiare i diversi sistemi.

John Nash e la teoria dell'equilibrio

UNA RICETTA PER L’EQUILIBRIO MATEMATICO

Come funziona la teoria dei giochi di John Nash? Quali predizioni è in grado di fare?

Vi risponderò, curiosi lettori, con due esempi creati proprio da John Nash in persona per spiegare la sua teoria. Il primo assomiglia più ad un aneddoto che potrete raccontare al pub ai vostri amici, mentre il secondo riprende una delle formulazioni presentate in origine da John Nash.

Immaginate di essere in un bar, voi e tre vostri amici. Siete in quattro ed entrano cinque ragazze, quattro carine ed una stupenda. Ora se ci provaste tutti con la ragazza bellissima probabilmente tutti e quattro andreste in bianco, lei si sentirà lusingata e farà la preziosa. Per non rimanere tutta la sera al tavolo da soli chiederete alle amiche di ballare, ma sentendosi la ruota di scorta, nessuna di loro accetterà di scendere in pista con voi e rimarrete soli con il vostro brandy ed i vostri amici. Se invece lasciaste perdere tutti la ragazza stupenda e concentraste i vostri sforzi nel fare il filo alle quattro amiche, loro sentendosi lusingate perché non adombrate dall’amica probabilmente accetteranno il vostro invito a ballare e magari vi lasceranno il loro numero di telefono (Nash, 1950).

Ecco qui il riassunto della teoria di John Nash. Il massimo guadagno del sistema globale si ha quando ognuno cerca di perseguire il meglio per sè e per il gruppo. La sua scoperta stravolse le teorie precedenti, le quali affermavano che il massimo guadagno si sarebbe ottenuto qualora tutti i soggetti avessero perseguito il meglio per sè stessi.

gioco_teoria_john_nash

In termini matematicamente più corretti possiamo formulare la teoria di John Nash sfruttando il dilemma del prigioniero. Si tratta di risolvere un problema nel quale vogliamo massimizzare il guadagno, senza correre il rischio con la nostra mossa di perdere più del necessario.

Ecco le regole di questo gioco:

  • Voi siete un prigioniero in carcere e siete sottoposti ad un interrogatorio.
  • Potete solo confessare, oppure stare zitti.

A seconda di cosa fate avrete diverse pene, come illustrato nella figura accanto.

  • Se solo uno dei due accusa il collega evita la pena, l’altro viene però condannato a 20 anni di carcere.
  • Se entrambi si accusano a vicenda, vengono entrambi condannati a 8 anni.
  • Se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 6 mesi perché comunque considerati colpevoli per un reato minore.

È chiaro che se entrambi confessassimo ci perderemmo, se però io confesso e l’altro tace sarò libero e l’altro invece sconterà 20 anni di galera. Ma attenzione, questo ragionamento lo fa anche il mio avversario quindi è probabile che confessi anche lui, per cercare di liberarsi. In questo modo verremmo entrambi condannati a 8 anni di galera, invece se io taccio e il mio complice parla allora dovrò scontare io 20 anni di carcere. Se però tacciamo entrambi ecco che possiamo cavarcela con sei mesi di carcere. Per quanto sembri un paradosso, anche se come singolo tacere sarebbe sconveniente, nell’economia generale è l’unica mossa che mi consentirà di minimizzare la pena, o per dirlo in termini tecnici massimizzare il pay-off, cioè la ricompensa.

E NOI QUANDO GIOCHIAMO?

Esistono molti altri esempi nei quali è possibili applicare la Teoria dei giochi: tris, dama e morra cinese sono esempi di giochi che possono essere studiati conla teoria ideata da John Nash. Il Tris è il più lampante degli esempi: io cercherò sempre di bloccare il mio compagno per finire in parità, perché se non puntassi a quella il rischio di perdere sarebbe altissimo.

Scacchi, briscola, poker sono tutti sistemi più semplici che possono essere studiati tramite questa teoria e che a lei devono il nome; ben presto però la teoria di John Nash prese le distanze dai giochi per arrivare a predirre, con ottima precisione, il comportamento della società di fronte a scelte economiche e morali. Non da ultimo, John Nash ha scritto le basi della moderna crittografia, riportate in alcune lettere scritte nel 1950 all’NSA e decodificate solo nel 2011.

Che dire, John Nash fu un genio, un folle, un grande matematico e un grande uomo.

BIBLIOGRAFIA

 

A cura di Malinverno Luca, revisionato da Andrea Mascheroni.


About the Author : Luca Malinverno

Fisico Sperimentale e topo da laboratorio. Ama la montagna e la sua arma segreta è l'immancabile agenda.

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